亿帮常识网 问答 克莱因瓶,装不进水的瓶子与墨彼乌斯环

克莱因瓶,装不进水的瓶子与墨彼乌斯环

克莱因瓶被称为装不进水的瓶子,1874年德国大数学家克莱因设计了一个瓶子,它装不进水,当然也就卖不出去,不过这个克莱因瓶却使人们,特别是数学家大开眼界。

克莱因瓶,装不进水的瓶子与墨彼乌斯环

在数学领域中,克莱因瓶没有内部和外部之分,克莱因瓶最先是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。

还有一则科学幻想故事。故事的起因是有一个叫墨彼乌斯(M6bius)的数学家曾经制作了一个环(后人称其为墨彼乌斯环)。此环制作起来很简单,你不妨自己动手做一个:找一长长的纸条,在桌子上摊平,拿起一端,旋转180°,然后跟另一端粘合,就制成了。墨彼乌斯环的内壁和外壁是相通的,不信,你在你制作的墨彼乌斯环上涂抹一层糖浆,捉一只蚂蚁,放在纸条上让它顺着纸条爬,可以目睹它从外环爬到内环。墨彼乌斯环的环面不分里外,因此是二维的,可却放在三维空间中。设想墨彼乌斯环是透明的,环里画一头黑色的驴,让这头驴顺着环面前迸,转着转着,这二维世界的驴顺着墨彼乌斯环转一圈竟然颠倒过来了。如果你想像着小黑驴不离开纸面,原地旋转,使四蹄仍然朝下,小黑驴的头就朝向后方了:这表明,经过墨彼乌斯环前进一圈的小黑驴已从“左向驴”变成了“右向驴”!于是,就有人想像,若把墨彼乌斯环从二维推演到三维,会存在一个只有一个开口的瓶子。(根据推理,它是一只放在四维空间里的三维物体!)最早有个叫克莱因的人设想了这种空间,后人就把它称之为克莱因瓶。如果一个左心人钻进克莱因瓶转一圈,就会变成右心人!有人设想,我们所在的宇宙就是一个如同克莱因瓶那样的封闭的空间,如果从地球出发,到宇宙里去转一圈,左心人就会变右心人!

要使瓶子能够装水,必须有两个条件:第一,它盖上盖子后必须是封闭的,这是不言而喻的。一般人觉得这个条件就够了,在现实生活中也的确如此。可是克莱因说,单这个条件还不够,这个封闭曲面还必须是双側的,也就是这个曲面必须有里外之分,换句话说,水在里面不能跑到外面来。可是哪里有里外不分的瓶子呢?在莫比乌斯带的启发下,克莱因认为有这种可能性。
克莱因的办法是从一个两头开口的管子出发,如果把管子两头弯曲,一直弯曲到两头相遇,然后把它们粘接在一起,这样就得到了一个环面。现在改变一个办法,先将管子一端弄得一端稍粗一些,一端稍细一些,这从拓扑上讲是容许的,它还是圆柱形。然后把两头弯曲,把细的一头插到粗的一头的管壁之内,然后两头从里面相接近,在接口处可以看到两个同心圆,大的一头套着小的一头,最后把小口放大,大口缩小,两口重合粘接在一起,这样得到的曲面如同环面一样也是封闭的。但是,它是单侧的,“外面”的一个小虫沿曲面爬,最后也可以爬到里面。

美中不足的是,克莱因瓶在三维空间中一定存在着自交点,只有到了4维空间,它才有一个正则的嵌入。

正如射影平面可以通过环面对顶点相粘合而成。克莱因瓶也可以通过球面对顶点相粘合而成。

我们可以把克莱因瓶沿着一条闭曲线剪开,这样我们就得到两条莫比乌斯带。因此,我们也可以把克莱因瓶看成二条莫比乌斯带沿公共边界相粘接而成,它的单侧性就更容易看出来了。

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